Question

15．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的倾斜角为$\frac{π}{3}$，离心率为e，则$\frac{{a}^{2}+3e}{b}$的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由双曲线渐近线的方程可知，$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，离心率e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=2，从而利用基本不等式即可求得$\frac{{a}^{2}+3e}{b}$的最小值．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
又离心率e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=2，
∴$\frac{{a}^{2}+3e}{b}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{3}+6}{b}$=$\frac{b}{3}$+$\frac{6}{b}$≥2$\sqrt{\frac{b}{3}•\frac{6}{b}}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当b=3$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{6}$，时，取得最小值2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查基本不等式的运用，属于中档题．