Question

11．△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则△AOB的面积=（　　）

• A． $\frac{3}{10}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据平面向量的线性运算与数量积运算法则，得出$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
结合题意，求出直角三角形△AOB的面积即可．

解答 解：∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$=-5$\overrightarrow{OC}$；
∴（3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$）²=（-5$\overrightarrow{OC}$）²；
由|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，
∴9+16+24$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=25，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$；
∴△AOB的面积为S_△AOB=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与数量积的应用问题，是基础题目．