题目内容

【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,AB⊥AD,AB=3,CD=2,PD=AD=5.
(1)在PD上确定一点E,使得PB∥平面ACE,并求 的值;
(2)在(1)条件下,求平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值.

【答案】
(1)解:连接BD交AC于O,

在△PBD中,过O作OE∥BP交PD于E,

∵OE平面ACE,PB平面ACE,

∴PB∥平面ACE,

∵AB=3,CD=2,∴


(2)解:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(5,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,2),P(0,0,5),

=(5,﹣2,0), =(0,﹣2,2),

设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),

,即

令z=5,则x=2,y=5,∴n=(2,5,5)

取PA的中点为F,连接DF,∵AD=PD,∴DF⊥PA,

又AB⊥平面PAD,∴AB⊥DF,则DF⊥平面PAB,

=( ,0, )是平面PAB的一个法向量,

∴cos< >= = =

∴平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值为


【解析】(1)连接BD交AC于O,过O作OE∥BP交PD于E,推导出PB∥平面ACE,由此能求出 的值.(2)以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行即可以解答此题.

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