题目内容
【题目】已知点P是椭圆 在第一象限上的动点,过点P引圆x2+y2=4的两条切线PA、PB,切点分别是A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N,则△OMN面积的最小值为 .
【答案】
【解析】解:根据题意,设A(x1 , y1),B(x2 , y2),P(x0 , y0), PA是圆的切线且切点为A,则PA的方程为x1x+y1y=4,
同理PB的方程为x2x+y2y=4,
又由PA、PB交与点P,则有x1x0+y1y0=4,x2x0+y2y0=4,
则直线AB的方程为x0x+y0y=4,
则M的坐标为( ,0),N的坐标为(0,
),
S△OMN= |OM||ON|=
,
又由点P是椭圆 在第一象限上的动点,则有
+
=1,
则有1= +
≥2
=
|x0y0|,即|x0y0|≤4
,
S△OMN= |OM||ON||=
≥
,
即△OMN面积的最小值为 ;
故答案为: .
根据题意,设A(x1 , y1),B(x2 , y2),P(x0 , y0),由圆的切线方程可得PA、PB的方程,而PA、PB交于P(x0 , y0),由此能求出AB的直线方程,从而可得三角形的面积,利用基本不等式可求最值.
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