Question

【题目】如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求证：MN∥平面BDE；

(2)求二面角CEMN的正弦值；

(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用向量法证明即可.(2)第（2）问，直接利用向量法求解. (3)第（3）问，直接利用向量法求出直线NH与直线BE所成角的余弦值，解方程即可.

试题解析：

（1）如图，以A为原点，分别以方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz，依题意可得A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0，1)，N(1,2,0)．

(1)证明： ＝(0,2,0)， ＝(2,0，－2)．

设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，

则

即

不妨设z＝1，可得＝(1,0,1)．

又＝(1,2，－1)，可得＝0.

因为MN平面BDE，所以MN∥平面BDE.

(2)易知＝(1,0,0)为平面CEM的一个法向量．设＝(x1，y1，z1)为平面EMN的一个法向

量，则

因为＝(0，－2，－1)， ＝(1,2，－1)，

所以

不妨设y1＝1，可得＝(－4,1，－2)．

因此有cos〈， 〉＝，

于是sin〈， 〉＝

所以二面角CEMN的正弦值为.

(3)依题意，设AH＝h(0≤h≤4)，则H(0,0，h)，进而可得＝(－1，－2，h)， ＝(－2,2,2)．

由已知，得

|cos〈， 〉|＝

整理得10h2－21h＋8＝0，解得h＝，或h＝.

所以，线段AH的长为或.