题目内容
【题目】给定一个数列{an},在这个数列里,任取m(m≥3,m∈N*)项,并且不改变它们在数列{an}中的先后次序,得到的数列{an}的一个m阶子数列.
已知数列{an}的通项公式为an= (n∈N* , a为常数),等差数列a2 , a3 , a6是数列{an}的一个3子阶数列.
(1)求a的值;
(2)等差数列b1 , b2 , …,bm是{an}的一个m(m≥3,m∈N*)阶子数列,且b1= (k为常数,k∈N* , k≥2),求证:m≤k+1
(3)等比数列c1 , c2 , …,cm是{an}的一个m(m≥3,m∈N*)阶子数列,求证:c1+c1+…+cm≤2﹣ .
【答案】
(1)解:∵a2,a3,a6成等差数列,
∴a2﹣a3=a3﹣a6.
又∵a2= ,a3=
,a6=
,
代入得 ﹣
=
﹣
,解得a=0
(2)证明:设等差数列b1,b2,…,bm的公差为d.
∵b1= ,∴b2≤
,
从而d=b2﹣b1≤ ﹣
=﹣
.
∴bm=b1+(m﹣1)d≤ ﹣
.
又∵bm>0,∴ ﹣
>0.
即m﹣1<k+1.
∴m<k+2.
又∵m,k∈N*,∴m≤k+1.
(3)证明:设c1= (t∈N*),等比数列c1,c2,…,cm的公比为q.
∵c2≤ ,∴q=
≤
.
从而cn=c1qn﹣1≤ (1≤n≤m,n∈N*).
∴c1+c2+…+cm≤ +
+
+…+
= ,
设函数f(x)=x﹣ ,(m≥3,m∈N*).
当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=x﹣ 为单调增函数.
∵当t∈N*,∴1< ≤2.∴f(
)≤2﹣
.
即 c1+c2+…+cm≤2﹣ .
【解析】(1)利用等差数列的定义及其性质即可得出;(2)设等差数列b1 , b2 , …,bm的公差为d.由b1= ,可得b2≤
,再利用等差数列的通项公式及其不等式的性质即可证明;(3)设c1=
(t∈N*),等比数列c1 , c2 , …,cm的公比为q.由c2≤
,可得q=
≤
.从而cn=c1qn﹣1≤
(1≤n≤m,n∈N*).再利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出.
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和等差数列的性质,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;在等差数列{an}中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;相隔等距离的项组成的数列是等差数列即可以解答此题.
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