Question

【题目】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．

(2) 存在实数使f(x)的最小值为0.

【解析】分析：（1）根据f（1）=1代入函数表达式，解出a=﹣1，再代入原函数得f（x）=log4（﹣x2+2x+3），求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数f（x）的单调区间；

（2）先假设存在实数a，使f（x）的最小值为0，根据函数表达式可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，再结合二次函数t=ax2+2x+3的性质，可列出式子：，由此解出a=，从而得到存在a的值，使f（x）的最小值为0．

详解：（1）∵f（x）=log4（ax2+2x+3）且f（1）=1，

∴log4（a12+2×1+3）=1a+5=4a=﹣1

可得函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）

∵真数为﹣x2+2x+3＞0﹣1＜x＜3

∴函数定义域为（﹣1，3）

令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

可得：当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；

当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．

∵底数为4＞1

∴函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）

（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，

由于底数为4＞1，可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，

且真数t的最小值恰好是1，

即a为正数，且当x=﹣=﹣时，t值为1．

∴a=

因此存在实数a=，使f（x）的最小值为0．