Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．

（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求证：BC⊥平面PBD；
（3）在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°？若存在，求 的值；若不存在，请述明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取CD中点F，连结EF，BF，

∵E为PC中点，AB=AD=PD=1，CD=2，

∴EF∥PD，AB DF，

∴四边形ABFD是平行四边形，∴BF∥AD，

∵EF∩BF=F，AD∩PD=D，BF、EF平面BEF，AD、PD平面ADP，

∴平面PAD∥平面BEF，

∵BE平面BEF，∴BE∥平面PAD．

（2）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，

∴PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD，

∵底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，

∴BD=BC= = ，

∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD，

∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．

（3）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，

D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0），设Q（0，b，c），

=（1，1，0）， =（0，0，1）， =（0，b，c），

设平面BDP的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣1，0），

设平面BDQ的法向量 =（x1，y1，z1），

则 ，取x1=1，得 =（1，﹣1， ），

∵二面角Q﹣BD﹣P为45°，

∴cos45°= = = ，解得 = ，

∴Q（0， c，c），∴ ，解得c=2﹣ ，∴Q（0，2 -2，2﹣ ），

∴ = = -1．

∴在线段PC上存在Q（0，2 -2，2﹣ ），使得二面角Q﹣BD﹣P为45°， = -1．

【解析】（1）取CD中点F，连结EF，BF，则EF∥PD，AB DF，从而BF∥AD，进而平面PAD∥平面BEF，由此能证明BE∥平面PAD．（2）推导出BC⊥PD，BC⊥BD，由此能证明BC⊥平面PBD．（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PC上存在Q（0，2 -2，2﹣ ），使得二面角Q﹣BD﹣P为45°， = -1．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)的相关知识才是答题的关键．