Question

【题目】已知f（x）=﹣ex+ex（e为自然对数的底数）
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）设g（x）=lnx+ x2+ax，若对任意x1∈（0，2]，总存在x2∈（0，2]．使得g（x1）＜f（x2），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=﹣ex+ex的导数为f′（x）=﹣ex+e，

当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

故f（x）max=f（1）=0；

（2）解：对任意x1∈（0，2]，总存在x2∈（0，2]，

使得g（x1）＜f（x2）等价于g（x1）＜f（x2）max．

由（1）可知f（x2）max=f（1）=0．

问题转化为g（x）＜0在x∈（0，2]恒成立．

参变量分离得：﹣a＞ = + x，

令r（x）= + x，x∈（0，2]，

r′（x）= + ，由0＜x≤2时，1﹣lnx＞0，得r′（x）＞0，

即r（x）在x1∈（0，2]上单增．

故﹣a＞r（x）max=r（2）= +1．

综上：a＜﹣ ﹣1，

即a的取值范围为 （﹣∞，﹣ ﹣1）．

【解析】（1）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到函数f（x）的最大值；（2）由题意可得g（x1）＜f（x2）max ． 由（Ⅰ）可得问题转化为g（x）＜0在x∈（0，2]恒成立．运用参数分离，求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求a的范围．