Question

20．已知函数f（x-1）=x²+（2a-2）x+3-2a．
（1）若函数f（x）在[-5，5]上为单调函数，求实数a的取值范围．
（2）求a的值，使f（x）在区间[-5，5]上的最小值为-1．

Answer 1

分析 利用换元法令x-1=t，则x=1+t；从而可得f（x）=x²+2ax+2，
（1）利用二次函数的性质可得-a≤-5或-a≥5，从而解得；
（2）分类讨论，从而求函数的最小值，从而解得．

解答 解：令x-1=t，则x=1+t；
∵f（x-1）=x²+（2a-2）x+3-2a，
∴f（t）=（t+1）²+（2a-2）（t+1）+3-2a，
∴f（t）=t²+2at+2，
∴f（x）=x²+2ax+2，
（1）∵函数f（x）在[-5，5]上为单调函数，
且f（x）的图象的对称轴为x=-a；
∴-a≤-5或-a≥5，
即a≤-5或a≥5．
（2）当a＞5时，f_min（x）=f（-5）=27-10a=-1，故a=$\frac{14}{5}$（舍去）；
当-5≤a≤5时，f_min（x）=f（-a）=-a²+2=-1，故a=$±\sqrt{3}$；
当a＜-5时，f_min（x）=f（5）=27+10a=-1，故a=-$\frac{14}{5}$（舍去）；
综上所述，a=$±\sqrt{3}$．

点评 本题考查了换元法及二次函数的性质的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．