Question

5．设x＞0，y＞0，z＞0，且x²-4xy+9y²-z=0，则当$\frac{z}{xy}$取得最小值时，$\frac{6}{x}+\frac{4}{y}-\frac{6}{z}$的最大值为9．

Answer 1

分析 由题意可得z，代入$\frac{z}{xy}$结合基本不等式可得x=3y且z=6y²，代入$\frac{6}{x}+\frac{4}{y}-\frac{6}{z}$由二次函数的最值可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，z＞0，且x²-4xy+9y²-z=0，
∴z=x²-4xy+9y²，∴$\frac{z}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{9y}{x}$-4≥2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{9y}{x}}$-4=2，
当且仅当$\frac{x}{y}$=$\frac{9y}{x}$即x=3y时取等号，此时z=6y²，
∴$\frac{6}{x}+\frac{4}{y}-\frac{6}{z}$=$\frac{2}{y}$+$\frac{4}{y}$-$\frac{1}{{y}^{2}}$=-（$\frac{1}{y}$-3）²+9，
由二次函数的知识可知当$\frac{1}{y}$=3即y=$\frac{1}{3}$时，
上式取到最大值9，
故答案为：9．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及二次函数区间的最值，属中档题．