Question

12．已知：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（2）=1，且对任意x，y∈（0，+∞），均有f（x•y）=f（x）+f（y），现有数列{a_n}满足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，a₁=1，且b_n=f（a_n）．
（1）求f（4）及f（2ⁿ），（n∈N₊）的值；
（2）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（3）令c_n=$\frac{1}{{b}_{n+1}}$，并记{c_n}前n项和为S_n，问：是否存在实数k，使得S_n＜k（n+4），对一切n∈N₊恒成立，若存在求出k值，不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抽象函数的关系式，利用赋值法结合等差数列的定义即可求f（4）及f（2ⁿ），（n∈N₊）的值；
（2）根据条件求$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，a₁=1，且b_n=f（a_n）利用累积法即可求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（3）求出{c_n}前n项和为S_n，

解答 解：（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（4）=f（2•2）=f（2）+f（2）=1+1=2，
令y=2，x=2^n-1，
则f（2ⁿ）=f（2^n-1）+f（2）=f（2^n-1）+1，
即f（2ⁿ）-f（2^n-1）=1，
即f（2ⁿ）是公差为1的等差数列，首项为f（2）=1，
则f（2ⁿ）=1+（n-1）=n，（n∈N₊）的值；
（2）∵$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，a₁=1，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=2²，…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1，
两边同时相乘得$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2•2²…2^n-1=2^{1+2+3+…（n-1）}=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
∴a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
b_n=f（a_n）=f（${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$）=$\frac{n（n-1）}{2}$．
（3）c_n=$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
则S_n=2（1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，
若S_n＜k（n+4），对一切n∈N₊恒成立，
则$\frac{2n}{n+1}$＜k（n+4），
即k＞$\frac{2n}{（n+1）（n+4）}$恒成立，
∵$\frac{2n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{2n}{{n}^{2}+5n+4}$=$\frac{2}{n+\frac{4}{n}+5}$$≤\frac{2}{2\sqrt{n•\frac{4}{n}}+5}$=$\frac{2}{4+5}=\frac{2}{9}$，当且仅当n=$\frac{4}{n}$，即n=2时，取等号，
∴k＞$\frac{2}{9}$，
即存在实数k＞$\frac{2}{9}$，使得S_n＜k（n+4），对一切n∈N₊恒成立．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，以及数列递推关系的推导，数列求解的计算，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，构造法，定义法以及累积法，列项求和法在本题都有体现，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．