Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos（α+2π），1），$\overrightarrow{b}$=（-2，cos（$\frac{π}{2}$-α）），α∈（π，$\frac{3}{2}$π），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
（1）求sinα的值；
（2）求tan（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）先根据$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$等价于$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，得到角α正余弦之间的关系，再由同角三角函数的基本关系可求得sinα的值．
（2）先根据（1）中结果求出cosα的值，进而可得tanα的值，再由两角和与差的正切公式得到答案．

解答 解：（1）由向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，1），$\overrightarrow{b}$=（-2，sinα），α∈（π，$\frac{3π}{2}$），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（cosα，1）•（-2，sinα）=0．
即-2cosα+sinα=0．
所以cosα=$\frac{1}{2}$sinα．
因为sin²α+cos²α=1，
所以sin2α=$\frac{4}{5}$．
因为α∈（π，$\frac{3π}{2}$），
所以sinα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（2）由（1）可得cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
则tanα=2，tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{4}{3}$，
tan（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan2α+1}{1-tan2α}$=-$\frac{1}{7}$．

点评 本题主要考查向量的运算、同角三角函数的基本关系和两角和与差的正切公式．考查综合运用能力，属于基本知识的考查．