Question

14．直线y=x+b与曲线x=$\sqrt{1-{y}^{2}}$有且仅有1个公共点，则b的取值范围是（　　）

• A． |b|=$\sqrt{2}$
• B． -1＜b≤1或b=-$\sqrt{2}$
• C． -1≤b≤1
• D． -1≤b≤1 或b=$±\sqrt{2}$

Answer 1

分析 结合条件画出图形，数形结合求得满足条件的b的范围．

解答 解：曲线x=$\sqrt{1-{y}^{2}}$，即 x²+y²=1 （x≥0），表示以（0，0）为圆心、
半径等于1的半圆（位于y轴及y轴右侧的部分），如图，
当直线y=x+b经过点A（0，1）时，b=1；当直线线y=x+b经过点（0，-1）时，b=-1；
当直线y=x+b和半圆相切时，由圆心到直线线y=x+b的距离等于半径，可得$\frac{|0-0+b|}{\sqrt{2}}$=1，
求得b=$\sqrt{2}$ （舍去），或b=-$\sqrt{2}$，
综上可得，-1＜b≤1，或 b=-$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，直线和圆的位置关系，定到直线的距离公式，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．