Question

2．如图，平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FD}$，求证：EF∥β．

Answer 1

分析 过点C作CM∥AB，交平面β于点M，在平面ACMB中，过点E作EN∥BM，交CM于点N，
证明平面EFN∥β，即可证明EF∥β．

解答 证明：如图所示，
过点C作CM∥AB，交平面β于点M，
连接BM，在平面ACMB中，过点E作EN∥BM，交CM于点N，
连接FN，
∵EN∥BM，∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CN}{NM}$，
又∵$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FD}$，
∴$\frac{CN}{NM}$=$\frac{CF}{FD}$，
∴NF∥MD；
且BM?β，EN?β，
∴EN∥β，
同理NF∥β；
又EN∩NF=N，EN?平面EFN，NF?平面EFN，
∴平面EFN∥β；
又EF?平面EFN，
∴EF∥β．

点评 本题考查了空间中的平行关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是基础题目．