题目内容
17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\sqrt{3}m}\\{y=-\sqrt{3}t-2m}\end{array}\right.$（t为参数），若以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ（1-cos2θ）=8cosθ（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相切，求直线l与坐标轴围成的三角形的面积．
分析 （1）利用公式与$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出；
（2）由直线l的参数方程消去参数化为：y=$-\sqrt{3}x$+m，代入抛物线方程可得：3x2-$（2\sqrt{3}m+4）$x+m2=0，由于直线l与曲线C相切，可得△=0，解出m即可得出．
解答 解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ（1-cos2θ）=8cosθ，化为ρ2•2sin2θ=8ρcosθ，∴y2=4x．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\sqrt{3}m}\\{y=-\sqrt{3}t-2m}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为：y=$-\sqrt{3}x$+m，
代入抛物线方程可得：3x2-$（2\sqrt{3}m+4）$x+m2=0，
∵直线l与曲线C相切，
∴△=$（2\sqrt{3}m+4）^{2}$-12m2=0，
化为$m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线l的方程为：$y=-\sqrt{3}x$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得与坐标轴的交点$（0，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$或$（-\frac{1}{3}，0）$．
∴直线l与坐标轴围成的三角形的面积S=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{18}$．
点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相切问题转化为一元二次的判别式满足的条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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