Question

9．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F₁上，片门位于另一个焦点F₂上，由椭圆一个焦点F₁发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F₂．已知BC⊥F₁F₂，|F₁B|=3m，|F₁F₂|=4cm，试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

Answer 1

分析 以F₁F₂的中点为坐标原点，以F₁F₂为x轴建立平面直角坐标系，设截口BAC所在椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，根据已知及椭圆的性质，求出a，b，可得答案．

解答 解：建立如图所示的平面直角坐标系，设截口BAC所在椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，

因为BC⊥F₁F₂，|F₁B|=3m，|F₁F₂|=4cm，
所以在直角△BF₁F₂中，
|BF₂|=4=$\sqrt{{{BF}_{1}}^{2}+{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}}$=5cm，
故2a=|F₁B|+|BF₂|=8cm，a=4cm，
2c=|F₁F₂|=4cm，c=2cm，
又由b²=a²-c²=12，
故截口BAC所在椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆的应用，建立恰当的坐标系是解答的关键．