Question

14．设函数f（x）=|x-1|+|x+2|
（1）解不等式f（x）≥5；
（2）对任意x∈R，f（x）≥a²-2a都成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义，求得不等式f（x）≥5的解集．
（2）利用绝对值的意义求得f（x）的最小值为3，再根据3≥a²-2a，求得实数a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到-2、1对应点的距离之和，
而-3和2对应点到-3、2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤-3或x≥2}．
（2）由（1）可得f（x）的最小值为3，再结合对任意x∈R，f（x）≥a²-2a都成立，
可得3≥a²-2a，求得-1≤a≤3，即a的范围是[-1，3]．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．