题目内容
7.在三棱锥S-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=$\sqrt{2}$,SA=SC=2.AC的中点为M,∠SMB的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$,若S、A、B、C都在同一球面上,则该球的表面积为( )A. | $\frac{3π}{2}$ | B. | 2π | C. | 6π | D. | $\sqrt{6}$π |
分析 根据定义,先作出它的平面角,如图所示.进一步分析此三棱锥的结构特征,找出其外接球半径的几何或数量表示,再进行计算.
解答 解:如图所示:
取AC中点D,连接SD,BD,则由AB=BC,SA=SC得出SD⊥AC,BD⊥AC,
∴∠SDB为S-AC-B的平面角,且AC⊥面SBD.
由题意:AB⊥BC,AB=BC=$\sqrt{2}$,得:△ABC为等腰直角三角形,且AC=2,
又∵BD⊥AC,故BD=AD=$\frac{1}{2}$AC,
在△SBD中,BD=$\frac{1}{2}×2$=1,
在△SAC中,SD2=SA2-AD2=22-12=3,
在△SBD中,由余弦定理得SB2=SD2+BD2-2SD•BDcos∠SDB=3+1-2×$\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}$=2,
满足SB2=SD2-BD2,∴∠SBD=90°,SB⊥BD,
又SB⊥AC,BD∩AC=D,∴SB⊥面ABC.
以SB,BA,BC为顶点可以补成一个棱长为2的正方体,S、A、B、C都在正方体的外接球上,
正方体的对角线为球的一条直径,∴2R=$\sqrt{3}×\sqrt{2}$,R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,球的表面积S=4$π×\frac{6}{4}$=6π.
故选:C.
点评 本题考查面面角,考查球的表面积,解题的关键是确定外接圆的半径,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | $-\sqrt{3}$ | C. | $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |
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A. | (2,$\frac{π}{3}$),(1,$\sqrt{3}$) | B. | (2,-$\frac{π}{3}$),(1,-$\sqrt{3}$) | C. | (2,$\frac{2π}{3}$),(-1,$\sqrt{3}$) | D. | (2,-$\frac{2π}{3}$),(-1,-$\sqrt{3}$) |