Question

14．在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥面ABCD，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，PD=DC．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD．

Answer 1

分析 （1）先证明线线平行，从而得到线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．

解答 证明：（1）连结AC，设AC∩BD=O，连接EO，
∵底面是正方形，∴O为AC的中点，OE为△PAC的中位线，
∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA?平面EBD，
∴PA∥平面EDB；
（2）∵PD⊥平面AC，BC?平面AC，
∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PDC，
∵DE?平面AC，∴BC⊥DE，①，
又∵PD⊥平面AC，DC?平面AC，
∴PD⊥DC，而PD=DC，
∴△PDC为等腰三角形，∴DE⊥PC，②，
由①②得：DE⊥平面PBC，
∴DE⊥PB，又EF⊥PB，
∴PB⊥平面DEF．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键，本题是一道中档题．