Question

2．设函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x-b，求a，b的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x²有两个极值点，且h（x）=ax-e^x在（1，+∞）有最大值，求a的取值范围；
（3）讨论方程f（x）=0解的个数，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，由题意可得f′（2）=1，f（2）=2-b，解方程可得a，b；
（2）求出g（x）的导数，由题意可得x²-ax+1=0有两个正根，则△=a²-4＞0，且a＞0，解得a＞2，求得h（x）的导数，对a讨论，若2＜a≤e，若a＞e，判断h（x）的单调性，即可得到a的范围；
（3）方程f（x）=0即为a=$\frac{lnx}{x}$，令m（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0），求得导数，求出单调区间和最值，作出图象，通过图象对a讨论，即可得到解的个数．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-ax的导数f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
由函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x-b，
可得f′（2）=1，f（2）=2-b，
即为$\frac{1}{2}$-a=1，ln2-2a=2-b，
解得a=-$\frac{1}{2}$，b=1-ln2；
（2）g（x）=lnx-ax+$\frac{1}{2}$x²的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$-a+x=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$
g（x）有两个极值点，即有x²-ax+1=0有两个正根，
则△=a²-4＞0，且a＞0，解得a＞2，
h（x）=ax-e^x的导数为h′（x）=a-e^x，
若2＜a≤e，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）单调递减，无最大值；
若a＞e，则当1＜x＜lna，h′（x）＞0，h（x）递增，当x＞lna时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=lna处取得最大值h（lna），
则有a＞e成立；
（3）方程f（x）=0即为a=$\frac{lnx}{x}$，
由m（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0）的导数为m′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，e）时，m′（x）＞0，m（x）递增，
当x∈（e，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）递减．
即有m（x）的最大值为m（e）=$\frac{1}{e}$，
y=m（x）的图象如右．
则当a＞$\frac{1}{e}$时，y=a和y=m（x）无交点，即方程解的个数为0；
当0＜a＜$\frac{1}{e}$，y=a和y=m（x）有两个交点，即方程解的个数为2；
当a≤0时，y=a和y=m（x）有一个交点，即方程解的个数为1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．