Question

16．如果不论实数b取何值，直线y=kx+b与双曲线x²-2y²=1总有公共点，那么k的取值范围为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 将y=kx+b代入x²-2y²=1，得（1-2k²）x²-4kbx-2b²-1=0．（*），方程（*）对b∈R恒有解，可得△≥0，即可求得k的取值范围．

解答 解：将y=kx+b代入x²-2y²=1，得（1-2k²）x²-4kbx-2b²-1=0．（*）
当1-2k²=0即k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，4kbx+2b²+1=0不能使任意b∈R都有解．
∴1-2k²≠0．
∵方程（*）对b∈R恒有解，∴△≥0，
即16k²b²+4（1-2k²）（2b²-1）≥0恒成立，
即8k²≤8b²+4恒成立，
∴8k²≤4，∴k²≤$\frac{1}{2}$．
又k²≠$\frac{1}{2}$，∴k²＜$\frac{1}{2}$，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确转化是关键．