题目内容

已知点(1,
1
3
)是函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2)
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式
(Ⅱ)求数列{
1
bnbn+1
}前n项和为Tn
(Ⅰ)∵f(1)=
1
3
,故a=
1
3

∴f(x)=(
1
3
)
x

∵a1=f(1)-c=
1
3
-c,a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-
2
9
,a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-
2
27

又数列{an}为等比数列,a1=
a22
a3
=
4
81
-
2
27
=-
2
3
=
1
3
-c,
∴c=1,又公比q=
a2
a1
=
1
3

∴an=-
2
3
(
1
3
)
n-1
=-2(
1
3
)
n
,n∈N*
∵Sn-Sn-1=(
Sn
+
Sn-1
)(
Sn
-
Sn-1
)=
Sn
+
Sn-1
(n≥2),
又bn>0,
Sn
>0,
Sn
-
Sn-1
=1;
∴数列{
Sn
}构成一个首相为1公差为1的等差数列,
Sn
=1+(n-1)×1=n,于是Sn=n2
当n≥2,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1;
∴bn=2n-1,n∈N*
(Ⅱ)∵
1
bnbn+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1
),
∴Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1

=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)+(
1
7
-
1
9
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]
=
1
2
(1-
1
2n+1

=
n
2n+1
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