题目内容
【题目】已知圆与直线
相切,圆心在
轴上,且直线
被圆
截得的弦长为
.
(1)求圆的方程;
(2)过点作斜率为
的直线
与圆
交于
两点,若直线
与
的斜率乘积为
,且
,求
的值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题(1)设圆的方程为
,则圆心到直线
的距离为
,由直线
被圆
截得的弦长为
,及弦长公式,得关于
的一个方程;再由圆
与直线
相切可得又一关于
的一个方程;联立方程,即可求出
的值,而得到圆的方程;
(2)设直线的方程为
,联立直线与圆的方程,消去
得到一个关于
的一元二次方程,设
,由韦达定理,可用
将直线
与
的斜率乘积为
表示出来,然后由
可求出
的值,进而就可求出
的值.
试题解析:(1)设圆的方程为
,
则圆心到直线的距离为
,
由直线被圆
截得的弦长为
可得
,即
,①
由圆与直线
相切可得
,即
②,
由①②及解得
,
故圆的方程为
,
(2)设直线的方程为
,联立
,
得,
则恒成立.
设,则
,
则,
所以,
则,
故
则,
,
故
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