题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)设函数,若存在
,使
,证明:
.
【答案】(1)函数的极小值为
,无极大值(2)见解析
【解析】
(1)求出函数的导数,根据函数的单调性求出函数的极值即可;
(2)求出a,问题转化为证明lnx1+lnx2<2(1),即ln
2,不妨设x1>x2,t
1,即证lnt
2,根据函数的单调性证明即可.
(1)的定义域为
,
,
令,
所以,
当时,
;
当时,
.
所以在
上单调递减,
在上单调递增.
所以.
所以函数的极小值为
,无极大值.
(2),
当时,由于
,所以
,
,即
,
当时,由于
,所以
,
,即
,
当时,
,
综上,,故
在
单调递增,
故只须证明,
即证,
由,可知
,
故,
即证,
,
,
也就是,
,
,
.
不妨设,
,
即证,
,
即证,
设,
,
故在
单调递增.
因而,
即,
因此结论成立.
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