题目内容

【题目】已知函数.

(1)求函数的极值;

(2)设函数,若存在,使,证明:.

【答案】(1)函数的极小值为,无极大值(2)见解析

【解析】

(1)求出函数的导数,根据函数的单调性求出函数的极值即可;

(2)求出a,问题转化为证明lnx1+lnx2<2(1),即ln2,不妨设x1x2t1,即证lnt2,根据函数的单调性证明即可.

(1)的定义域为

所以

时,

时,.

所以上单调递减,

上单调递增.

所以.

所以函数的极小值为,无极大值.

(2)

时,由于,所以,即

时,由于,所以,即

时,

综上,,故单调递增,

故只须证明

即证

,可知

即证

也就是

.

不妨设

即证

即证

单调递增.

因而

因此结论成立.

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