题目内容
【题目】以椭圆
：
的中心
为圆心，
为半径的圆称为该椭圆的“准圆”，设椭圆的左顶点为
，左焦点为
，上顶点为
，且满足
，
.
（1）求椭圆及其“准圆"的方程；
（2）若过点
的直线
与椭圆交于
、
两点，当
时，试求直线交“准圆”所得的弦长；
（3）射线
与椭圆的“准圆”交于点
，若过点的直线
，
与椭圆都只有一个公共点，且与椭圆的“准圆”分别交于
，
两点，试问弦
是否为”准圆”的直径?若是，请给出证明：若不是，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
是准圆的直径，具体见解析
【解析】
（1）根据所给条件可知，
，根据面积公式可知
，最后解方程组求解椭圆方程；
（2）设直线为
，与椭圆方程联立，
，表示根与系数的关系，并且代入
的数量积的坐标表示，求
，最后代入直线和圆相交的弦长公式
；
（3）首先求点
的坐标，当直线与椭圆有一个交点时，
，得到
，可知
，可知两条切线互相垂直，根据圆的性质可得答案.
（1）
，
，
，
，
准圆.
（2）
，设
：
，
，
，
，
，
即
，圆心
与该直线距离
，
弦长
.
（3）
，
整理为：
因为直线与圆只有1个交点，
整理为：
椭圆切线
与
垂直，即
，
在准圆上，
，
也在准圆上，
，是准圆的直径
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