已知数列{an}满足a1=4.a2=2.an+2=$\frac{3+(-1)^{n}}{2}$an+2[1-(-1)n].n∈N*.k∈N*．(Ⅰ)求a3.a4.并直接写出an,(Ⅱ)设Sk=a1+a3+-+a2k-1.Tk=a2+a4+-+a2k.分别求Sk.Tk关于k的表达式,(Ⅲ)设Wk=$\frac{{2{S k}}}{{2+{T k}}}$.求使Wk＞2的所有k的值.并说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知数列{a_n}满足a₁=4，a₂=2，a_n+2=$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$a_n+2[1-（-1）ⁿ]，n∈N^*，k∈N^*．
（Ⅰ）求a₃，a₄，并直接写出a_n；
（Ⅱ）设S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1，T_k=a₂+a₄+…+a_2k，分别求S_k，T_k关于k的表达式；
（Ⅲ）设W_k=$\frac{{2{S_k}}}{{2+{T_k}}}$，求使W_k＞2的所有k的值，并说明理由．

分析（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求a₃，a₄，并直接写出a_n；
（Ⅱ）根据数列求和的关系进行求解即可求S_k，T_k关于k的表达式；
（Ⅲ）求出W_k的表达式，解不等式即可．

解答解：（I）因为a₁=4，a₂=2，所以a₃=a₁+4=8，..…（1分）a₄=2a₂=4，..…（2分）
${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2（n+1），n=2k-1（k∈{N^*}）\\{2^{\frac{n}{2}}}，n=2k（k∈{N^*}）\end{array}\right.$…（4分）
（II）当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=a_2k-1+4，
所以{a_2k-1}是以4为首项，4为公差的等差数列，则a_2k-1=4k，..…（6分）
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=2a_2k，
故{a_2k}是以2为首项，2为公比的等比数列，则${a_{2k}}={2^k}$，..…（8分）
S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1=4+8+…+4k=2k（k+1），
${T_k}={a_2}+{a_4}+…+{a_{2k}}=2+{2^2}+…+{2^k}={2^{k+1}}-2$，..…（9分）
（III）${W_k}=\frac{{2{S_k}}}{{2+{T_k}}}=\frac{4k（k+1）}{{{2^{k+1}}}}=\frac{k（k+1）}{{{2^{k-1}}}}$，
于是${W_1}=2，{W_2}=3，{W_3}=3，{W_4}=\frac{5}{2}，{W_5}=\frac{15}{8}$，…（10分）
下面证明：当k≥5时，W_k＜2．
事实上，当k≥5时，${W_{k+1}}-{W_k}=\frac{（k+2）（k+1）}{2^k}-$$\frac{k（k+1）}{{{2^{k-1}}}}=\frac{（k+1）（2-k）}{2^k}＜0$，
即W_k+1＜W_k，又W₅＜2，
所以k≥5时，W_k＜2…（12分）
故满足W_k＞2的k的值为2，3，4