题目内容

【题目】求下列曲线的标准方程:
(1)与椭圆x2+4y2=16有相同焦点,过点p(),求此椭圆标准方程;
(2)求以原点为顶点,以坐标轴为对称轴,且焦点在直线3x﹣4y﹣12=0的抛物线的标准方程.

【答案】
解:(1)∵椭圆x2+4y2=16,∴,其焦点坐标为(,0),
设所求椭圆方程为,(a>b>0),其焦点坐标为(,0),
∴c2=12=a2﹣b2 , ①
又∵椭圆过点P(),∴=1,②
解①②组成的方程组得
∴椭圆方程为
(2)∵抛物线的焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上,
∴焦点坐标为(0,﹣3)或(4,0).
当焦点(0,﹣3)时,
设抛物线方程为x2=﹣2py,=3,p=6抛物线方程为x2=﹣12y,
当焦点(4,0)时,
设抛物线方程为y2=2px,=4,p=8抛物线方程为y2=16x.
∴抛物线方程为y2=16x或x2=﹣12y.
【解析】(1)所求椭圆方程为 , (a>b>0),其焦点坐标为( , 0),再由椭圆过点P(),能求出a,b,从而能求出椭圆方程.
(2)由抛物线的焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上,得焦点坐标为(0,﹣3)或(4,0),由此能求出抛物线方程.

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