题目内容

【题目】设p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x 满足
(1)若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

【答案】解:由x2﹣4ax+3a2<0,(x﹣3a)(x﹣a)<0,又a>0,
所以a<x<3a
由满足
得2<x≤3,即q为真时,实数x的取值范围是2<x≤3,
(1)当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是2<x<3
(2)q是p的充分不必要条件,即qp,反之不成立.,
设A={x|2<x<3},B={x|a<x<3a},则AB,
则0<a≤2,且3a>3所以实数a的取值范围是1<a≤2
【解析】(1)p∧q为真,则p真且q真.分别求出p,q为真命题时x的范围,两者取交集即可.
(2)q是p的充分不必要条件,即qp,反之不成立,设A={x|2<x<3},B={x|a<x<3a},则AB,转化为集合关系.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用复合命题的真假的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.

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