题目内容
【题目】已知函数,且
.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若对任意,都有
,求
的取值范围;
(Ⅲ)证明函数的图象在
图象的下方.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求函数的导数得
,由
求出
的值即可得到函数的解析式;(Ⅱ)
,构造函数
,则
,求函数
导数,利用导数求函数
即可;(Ⅲ)“函数
的图象在
图象的下方”等价于“
恒成立”
,由(Ⅱ)可得
即
,所以只要证
即
,构造函数
,证明在区间
上,
即可.
试题解析: (Ⅰ)易知,所以
,又
………………1分
∴……………………………2分
∴.…………………………3分
(Ⅱ)若对任意的,都有
,
即恒成立,即:
恒成立………………4分
令,则
,…………………………6分
当时,
,所以
单调递增;
当时,
,所以
单调递减;……………………8分
∴时,
有最大值
,
∴,即
的取值范围为
.…………………………10分
(Ⅲ)要证明函数的图象在
图象的下方,
即证:恒成立,
即:………………………11分
由(Ⅱ)可得:,所以
,
要证明,只要证明
,即证:
………………12分
令,则
,
当时,
,所以
单调递增,
∴,
即,……………13分
所以,从而得到
,
所以函数的图象在
图象的下方.…………14分

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