题目内容
【题目】如图(示意),公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地,其中tanα=-2.在该块土地中P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM,AN的距离分别为3km,km.现要过点P修建一条直线公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用,问如何确定B点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.
【答案】当AB=5km时,该工业园区的面积最小,最小面积为15km2.
【解析】试题分析:先确定点P的位置,再利用BC的斜率表示工业园区的面积,利用导数求其最值.以A为原点,AB为x轴,建立平面直角坐标系.因为tanα=-2,故直线AN的方程是y=-2x.设点P(x0,y0).因为点P到AM的距离为3,故y0=3.由P到直线AN的距离为,得
,解得x0=1或x0=-4(舍去),所以点P(1,3).显然直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y-3=k(x-1),k∈(-2,0).令y=0得xB=1-
.由
解得yC=
.设△ABC的面积为S,则S=
xB×yC=
.由S=
=0得k=-
或k=3.所以当k=-
时,即AB=5时,S取极小值,也为最小值15.
试题解析:解:
如图1,以A为原点,AB为x轴,建立平面直角坐标系.
因为tanα=-2,故直线AN的方程是y=-2x.
设点P(x0,y0).
因为点P到AM的距离为3,故y0=3.
由P到直线AN的距离为,
得,解得x0=1或x0=-4(舍去),
所以点P(1,3). 4分
显然直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y-3=k(x-1),k∈(-2,0).
令y=0得xB=1-. 6分
由解得yC=
. 8分
设△ABC的面积为S,则S=×xB×yC=
10分
由S==0得k=-
或k=3.
当-2<k<-时,S<0,S单调递减;当-
<k<0时,S>0,S单调递增. 13分
所以当k=-时,即AB=5时,S取极小值,也为最小值15.
答:当AB=5km时,该工业园区的面积最小,最小面积为15km2. 16分
