Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣ ．
（1）求点M的轨迹L的方程；
（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．

Answer 1

【答案】
解：（1）设M（x，y），则：
（x≠0）；
∴点M的轨迹方程为：x2+2y2=18（x≠0）；
（2）若直线L不存在斜率，则方程为：x=4；
x=4带入轨迹方程可得y=±1，即直线L和轨迹L有两个公共点，不合题意；
∴设直线L斜率为k，则方程为：y=kx﹣4k+1，带入轨迹方程并整理得：
（1+2k2）x2+4k（1﹣4k）x+16（2k2﹣k﹣1）=0；
∵直线L与轨迹L只有一个公共点，所以：
△=16k2（1﹣4k）2﹣64（1+2k2）（2k2﹣k﹣1）=0；
解得k=﹣2；
∴直线L的方程为：y=﹣2x+9．
【解析】（1）求M点的轨迹方程，所以设M（x，y），根据直线AM，BM的斜率之积是﹣ ， 即可求得关于x，y的等式，即点M的轨迹方程：x2+2y2=18；
（2）若直线L不存在斜率，则容易判断它和轨迹L有两个交点，不合题意；存在斜率时设斜率为k，然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程，将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程，让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程．
【考点精析】利用一般式方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）．