题目内容
【题目】已知函数f(x)=e2x+1﹣2mx﹣ m,其中m∈R,e为自然对数底数.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若不等式f(x)≥n对任意x∈R都成立,求mn的最大值.
【答案】
(1)解: ,x∈R,f'(x)=2e2x+1﹣2m,
①当m≤0时,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增;
②当m>0时,令f'(x)=0,得 ,
x | |||
f'(x) | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↘ | 极小值 | ↗ |
综上所述,当m≤0时,f(x)在R上单调递增;
当m>0时,f(x)在 上单调递减,在
上单调递增
(2)解:由(1)可知,若m≤0,函数f(x)在R上单调递增,
f(x)在R上无最小值,与题意矛盾,舍去;
所以m>0,f(x)在 上单调递减,在
上单调递增,
f(x)在R上的最小值为 .
因为不等式f(x)≥n对任意x∈R都成立,
所以 ,其中m>0,
故 ,m>0,
令 ,m>0,
,
令φ'(m)=0,解得m=1,
m | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
φ'(m) | + | 0 | ﹣ |
φ(m) | ↗ | 极大值 | ↘ |
所以 ,故
,
即mn的最大值为
【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论m的范围,求出函数的单调区间即可;(2)问题转化为 ,其中m>0,得到
,m>0,令
,m>0,根据函数的单调性求出mn的最大值即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减).
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