Question

【题目】已知函数f（x）=e2x+1﹣2mx﹣ m，其中m∈R，e为自然对数底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式f（x）≥n对任意x∈R都成立，求mn的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，x∈R，f'（x）=2e2x+1﹣2m，

①当m≤0时，f'（x）≥0，f（x）在R上单调递增；

②当m＞0时，令f'（x）=0，得 ，

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

综上所述，当m≤0时，f（x）在R上单调递增；

当m＞0时，f（x）在 上单调递减，在 上单调递增

（2）解：由（1）可知，若m≤0，函数f（x）在R上单调递增，

f（x）在R上无最小值，与题意矛盾，舍去；

所以m＞0，f（x）在 上单调递减，在 上单调递增，

f（x）在R上的最小值为 ．

因为不等式f（x）≥n对任意x∈R都成立，

所以 ，其中m＞0，

故 ，m＞0，

令 ，m＞0， ，

令φ'（m）=0，解得m=1，

m	（0，1）	1	（1，+∞）
φ'（m）	+	0	﹣
φ（m）	↗	极大值	↘

所以 ，故 ，

即mn的最大值为

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为 ，其中m＞0，得到 ，m＞0，令 ，m＞0，根据函数的单调性求出mn的最大值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．