题目内容
【题目】已知函数 ,a为正常数.
(1)若f(x)=lnx+φ(x),且 ,求函数f(x)的单调增区间;
(2)若g(x)=|lnx|+φ(x),且对任意x1 , x2∈(0,2],x1≠x2 , 都有 ,求a的取值范围.
【答案】
(1)解: ,
∵ ,令f′(x)>0,得x>2,或
,
∴函数f(x)的单调增区间为 ,(2,+∞)
(2)解:∵ ,
∴ ,
∴ ,
设h(x)=g(x)+x,依题意,h(x)在(0,2]上是减函数.
当1≤x≤2时, ,
,
令h′(x)≤0,得: 对x∈[1,2]恒成立,
设 ,则
,
∵1≤x≤2,∴ ,
∴m(x)在[1,2]上递增,则当x=2时,m(x)有最大值为 ,
∴
当0<x<1时, ,
,
令h′(x)≤0,得: ,
设 ,则
,
∴t(x)在(0,1)上是增函数,
∴t(x)<t(1)=0,
∴a≥0.
综上所述,
【解析】(1)先对函数y=f(x)进行求导,然后令导函数大于0(或小于0)求出x的范围,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,即可得到答案.(2)设h(x)=g(x)+x,依题意得出h(x)在(0,2]上是减函数.下面对x分类讨论:①当1≤x≤2时,②当0<x<1时,利用导数研究函数的单调性从及最值,即可求得求a的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性,需要了解通过图像,我们可以看出当点趋近于
时,直线
与曲线相切.容易知道,割线
的斜率是
,当点
趋近于
时,函数
在
处的导数就是切线PT的斜率k,即
;一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间
内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减才能得出正确答案.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)