题目内容
【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(2,m)为其上一点,且|MF|=4.
(1)求p与m的值;
(2)如图,过点F作直线l交抛物线于A、B两点,求直线OA、OB的斜率之积.
【答案】
(1)解:抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 ,准线为
.
由抛物线定义知:点M(2,m)到F的距离等于M到准线的距离,
故 ,
∴p=4,抛物线C的方程为y2=8x
∵点M(2,m)在抛物线C上,
∴m2=16,即m=±4
∴p=4,m=±4
(2)证明:由(1)知:抛物线C的方程为y2=8x,焦点为F(2,0)
若直线l的斜率不存在,
则其方程为:x=2,代入y2=8x,
易得:A(2,4),B(2,﹣4),
从而 ;
若直线l的斜率存在,设为k(k≠0),则其方程可表示为:y=k(x﹣2),
由 ,消去x,得:
,
即ky2﹣8y﹣16k=0(k≠0),△=64+64k2>0
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则 ,
∴ ,
从而 .
综上所述:直线OA、OB的斜率之积为﹣4
【解析】(1)求得抛物线的焦点和准线方程,由抛物线的定义,可得p的方程,求得p和抛物线的方程,以及m的值;(2)求出抛物线的焦点,讨论直线l的斜率不存在,求得交点A,B,可得斜率之积;直线l的斜率存在,设为k(k≠0),则其方程可表示为:y=k(x﹣2),联立抛物线的方程,消去x,设A(x1,y1),B(x2,y2),运用韦达定理和直线的斜率公式,计算即可得到所求之积.
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【题目】某高中为了解高中学生的性别和喜欢打篮球是否有关,对50名高中学生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢打篮球 | 不喜欢打篮球 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合计 |
已知在这50人中随机抽取1人,抽到喜欢打篮球的学生的概率为
(Ⅰ)请将上述列联表补充完整;
(Ⅱ)判断是否有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关?
附:K2=
p(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |