Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，m）为其上一点，且|MF|=4．
（1）求p与m的值；
（2）如图，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，求直线OA、OB的斜率之积．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为 ，准线为 ．

由抛物线定义知：点M（2，m）到F的距离等于M到准线的距离，

故 ，

∴p=4，抛物线C的方程为y2=8x

∵点M（2，m）在抛物线C上，

∴m2=16，即m=±4

∴p=4，m=±4

（2）证明：由（1）知：抛物线C的方程为y2=8x，焦点为F（2，0）

若直线l的斜率不存在，

则其方程为：x=2，代入y2=8x，

易得：A（2，4），B（2，﹣4），

从而 ；

若直线l的斜率存在，设为k（k≠0），则其方程可表示为：y=k（x﹣2），

由 ，消去x，得： ，

即ky2﹣8y﹣16k=0（k≠0），△=64+64k2＞0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ，

∴ ，

从而 ．

综上所述：直线OA、OB的斜率之积为﹣4

【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得p的方程，求得p和抛物线的方程，以及m的值；（2）求出抛物线的焦点，讨论直线l的斜率不存在，求得交点A，B，可得斜率之积；直线l的斜率存在，设为k（k≠0），则其方程可表示为：y=k（x﹣2），联立抛物线的方程，消去x，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和直线的斜率公式，计算即可得到所求之积．