题目内容

【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(2,m)为其上一点,且|MF|=4.
(1)求p与m的值;
(2)如图,过点F作直线l交抛物线于A、B两点,求直线OA、OB的斜率之积.

【答案】
(1)解:抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 ,准线为

由抛物线定义知:点M(2,m)到F的距离等于M到准线的距离,

∴p=4,抛物线C的方程为y2=8x

∵点M(2,m)在抛物线C上,

∴m2=16,即m=±4

∴p=4,m=±4


(2)证明:由(1)知:抛物线C的方程为y2=8x,焦点为F(2,0)

若直线l的斜率不存在,

则其方程为:x=2,代入y2=8x,

易得:A(2,4),B(2,﹣4),

从而

若直线l的斜率存在,设为k(k≠0),则其方程可表示为:y=k(x﹣2),

,消去x,得:

即ky2﹣8y﹣16k=0(k≠0),△=64+64k2>0

设A(x1,y1),B(x2,y2),

从而

综上所述:直线OA、OB的斜率之积为﹣4


【解析】(1)求得抛物线的焦点和准线方程,由抛物线的定义,可得p的方程,求得p和抛物线的方程,以及m的值;(2)求出抛物线的焦点,讨论直线l的斜率不存在,求得交点A,B,可得斜率之积;直线l的斜率存在,设为k(k≠0),则其方程可表示为:y=k(x﹣2),联立抛物线的方程,消去x,设A(x1,y1),B(x2,y2),运用韦达定理和直线的斜率公式,计算即可得到所求之积.

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