题目内容
理科(本小题14分)已知函数,当时,函数取得极大值.
(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:若,函数,则对任意,都有;(Ⅲ)已知正数满足求证:当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有
(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:若,函数,则对任意,都有;(Ⅲ)已知正数满足求证:当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有
(Ⅰ).
(Ⅱ)
当时,,单调递增,;
当时,,单调递减,;(Ⅲ)用数学归纳法证明.
(Ⅱ)
当时,,单调递增,;
当时,,单调递减,;(Ⅲ)用数学归纳法证明.
试题分析:(Ⅰ). 由,得,此时.
当时,,函数在区间上单调递增;
当时,,函数在区间上单调递减.
函数在处取得极大值,故. 3分
(Ⅱ)令, 4分
则.函数在上可导,存在,使得.
又
当时,,单调递增,;
当时,,单调递减,;
故对任意,都有. 8分
(Ⅲ)用数学归纳法证明.
①当时,,且,,
,由(Ⅱ)得,即
,
当时,结论成立. 9分
②假设当时结论成立,即当时,
. 当时,设正数满足令,
则,且.
13分
当时,结论也成立.
综上由①②,对任意,,结论恒成立. 14分
点评:难题,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,是导数的应用中的基本问题。本题(III)应用数学归纳法证明不等式,难度较大。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。
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