题目内容
【题目】“函数在区间
上单调”是“函数
在
上有反函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
“函数在区间
上单调”
“函数
在
上有反函数”,反之不成立.即可判断出结论
“函数在区间
上单调”
“函数
在
上有反函数”,下面给出证明:
若“函数在区间
上单调”,设函数
在区间
上的值域为
,任取
,如果在
中存在两个或多于两个的
值与之对应,设其中的某两个为
,且
,即
,但
.
因为,所以
(或
).
由函数在区间
上单调知:
,(或
),这与
矛盾.因此在
中有唯一的
值与之对应.由反函数的定义知:
函数在区间
上存在反函数.
反之“函数在
上有反函数”则不一定有“函数
在区间
上单调”,例如:函数
,就存在反函数:
原函数和反函数图象分别如下图(1)(2)所示:
由图象可知:函数在区间
上并不单调.
综上,“函数在区间
上单调”是“函数
在
上有反函数”的充分不必要条件.
故选:A.
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