题目内容
已知函数f(x)=alnx-x2,a∈R,
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若x≥1时,f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若x≥1时,f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.
考点:利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用
专题:计算题,分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析:(1)求出函数的导数,对a讨论,当a≤0时,当a>0时,令导数大于0,小于0,得到增区间和减区间;
(2)x=1时显然成立,当x>1时,运用分离参数,得到当x>1时,a≤
恒成立.令g(x)=
,求出导数,求出单调区间和极值、最值,令a不大于最小值,即可得到a的范围.
(2)x=1时显然成立,当x>1时,运用分离参数,得到当x>1时,a≤
x2 |
lnx |
x2 |
lnx |
解答:
解:(1)函数f(x)=alnx-x2的导数f′(x)=
-2x=
(x>0),
当a≤0时,f′(x)<0,f(x)递减,则f(x)的单调减区间为(0,+∞),无单调增区间;
当a>0时,x>
时,f′(x)<0,0<x<
时,f′(x)>0,
则有f(x)的单调减区间为(
,+∞),单调增区间为(0,
);
(2)x≥1时,f(x)≤0恒成立即为x≥1时,alnx≤x2恒成立,
当x=1时,显然成立,当x>1时,a≤
恒成立.
令g(x)=
,g′(x)=
,当x>
时,g′(x)>0,g(x)递增,
当1<x<
时,g′(x)<0,g(x)递减,
即有x=
,g(x)取得极小值,也为最小值,且为
=2e,
则有a≤2e.
a |
x |
a-2x2 |
x |
当a≤0时,f′(x)<0,f(x)递减,则f(x)的单调减区间为(0,+∞),无单调增区间;
当a>0时,x>
|
|
则有f(x)的单调减区间为(
|
|
(2)x≥1时,f(x)≤0恒成立即为x≥1时,alnx≤x2恒成立,
当x=1时,显然成立,当x>1时,a≤
x2 |
lnx |
令g(x)=
x2 |
lnx |
2xlnx-x |
(lnx)2 |
e |
当1<x<
e |
即有x=
e |
e | ||
|
则有a≤2e.
点评:本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查分类讨论的思想方法,考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A、①④③② | B、③④②① |
C、④①②③ | D、①④②③ |