Question

下列说法正确的个数是（　　）
①正切函数在定义域上单调递增；
②函数f（x）在区间（a，b）上满足f（a）f（b）＜0，则函数f（x）在（a，b）上有零点；
③f(x)=log2(x+

x2+1

)的图象关于原点对称；
④若一个函数是周期函数，那么它一定有最小正周期．

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由正切函数的图象可知正确函数在整个定义域上不单调，有无数个单调增区间；
若f（a）f（b）＜0，但函数在两端点处不连续，则不一定在（a，b）上有零点；
由定义判断出f(x)=log2(x+

x2+1

)是奇函数说明③正确；
举例说明④错误．

解答： 解：①正切函数在定义域上单调递增，错误，正确函数在整个定义域上不单调，有无数个单调增区间；
②函数f（x）在区间（a，b）上满足f（a）f（b）＜0，则函数f（x）在（a，b）上有零点，错误，若函数在两端点处不连续，则不一定在（a，b）上有零点；
③函数f(x)=log2(x+

x2+1

)的定义域为R，且f(-x)=log2(-x+

(-x)2+1

)=log2(-x+

x2+1

)=log2(x+

x2+1

)-1=-log2(x+

x2+1

)=-f（x），
∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，正确；
④若一个函数是周期函数，那么它一定有最小正周期，错误，例如常数函数f（x）=1是周期函数，但无最小正周期．
∴正确的命题是③．
故选：B．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，考查了函数零点的判定方法，是中档题．