题目内容
如图,E,F是边长为3的正方形ABCD的边AD上两个点,且AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H,若|CH|2:|CE|2=9:10,则AE的长为 .
考点:相似三角形的性质
专题:立体几何
分析:通过建立直角坐标系,利用直线的方程可得交点G,H的坐标,利用两点之间的距离公式可得|CH|,|CE|,再利用|CH|2:|CE|2=9:10,解出即可.
解答:
解:如图所示,建立直角坐标系.
设E(a,3)(0<a<3),则F(3-a,3).
直线BD的方程:y=x,
CF的方程为:y=
(x-3),化为y=-
(x-3),
联立
,解得G(
,
).
直线AG的方程为:y=
x+3,化为y=-
x+3.
直线BE的方程为:y=
x,
联立
,解得H(
,
).
|CH|=
,
|CE|=
.
∵|CH|2:|CE|2=9:10,
∴10[(3-
)2+(
)2]=9[(3-a)2+9]
解得a=1.
∴|AE|=1.
故答案为:1.
设E(a,3)(0<a<3),则F(3-a,3).
直线BD的方程:y=x,
CF的方程为:y=
3-0 |
3-a-3 |
3 |
a |
联立
|
9 |
3+a |
9 |
3+a |
直线AG的方程为:y=
3-
| ||
0-
|
a |
3 |
直线BE的方程为:y=
3 |
a |
联立
|
9a |
9+a2 |
27 |
9+a2 |
|CH|=
(3-
|
|CE|=
(3-a)2+9 |
∵|CH|2:|CE|2=9:10,
∴10[(3-
9a |
9+a2 |
27 |
9+a2 |
解得a=1.
∴|AE|=1.
故答案为:1.
点评:本题考查了建立直角坐标系利用直线的方程可得交点的坐标、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
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