Question

已知

m

=（asinx，cosx），

n

=（sinx，bcosx），其中a，b，x∈R，若f（x）=

m

•

n

满足f（

π

6

）=2，且f（x+

π

3

）=f（

π

3

-x）．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，

π

2

]上总有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用向量的数量积求出函数的关系式，a和b的关系式，在利用函数的对称性求出a和b的关系式，然后建立方程组求出结果．
（2）利用（1）的结论，进一步利用函数的值域求函数中参数的范围．

解答： 解（1）f(x)=

m

•

n

=

a

2

(1-cos2x)+

b

2

sin2x，
由f(

π

6

)=2
解得：a+

3

b=8
又由于：f(x+

π

3

)=f(x-

π

3

)
所以：f(0)=f(

2π

3

)
解得：b=

3

a
则有a=2，b=2

3

（2）由（1）得f(x)=2sin(2x-

π

6

)+1
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2sin(2x-

π

6

)∈[-1，2]，
∴f（x）∈[0，3]
∴log₂k=-f（x）∈[-3，0]
∴k∈[

1

8

，1]

点评：本题考查的知识要点：利用向量的数量积和三角函数的诱导关系变换确定a、b的值，利用函数的定义域求函数的值域，属于基础题型．