题目内容
如果函数满足在集合上的值域仍是集合,则把函数称为N函数.
例如:就是N函数.
(Ⅰ)判断下列函数:①,②,③中,哪些是N函数?(只需写出判断结果);
(Ⅱ)判断函数是否为N函数,并证明你的结论;
(Ⅲ)证明:对于任意实数,函数都不是N函数.
(注:“”表示不超过的最大整数)
例如:就是N函数.
(Ⅰ)判断下列函数:①,②,③中,哪些是N函数?(只需写出判断结果);
(Ⅱ)判断函数是否为N函数,并证明你的结论;
(Ⅲ)证明:对于任意实数,函数都不是N函数.
(注:“”表示不超过的最大整数)
(Ⅰ);(Ⅱ)是N函数;(Ⅲ)略
试题分析:(Ⅰ)的定义域为时,值域不是集合,例如值域中不含2。故不是N函数 。的定义域为时,值域不是集合,例如值域中不含2。故不是N函数。当时,所以是N函数。(Ⅱ)因为“”表示不超过的最大整数,所以。设,则,所以,解得,因为所以在一定存在正整数,即存在满足(Ⅲ)需对实数在全体实数范围内进行讨论。若为负时,函数不是N函数;若函数有最大值时,函数不是N函数;若函数的值是正数但不能取到所有正数时,函数不是N函数。
试题解析:解:(Ⅰ)只有是N函数. 3分
(Ⅱ)函数是N函数.
证明如下:
显然,,. 4分
不妨设,
由可得,
即.
因为,恒有成立,
所以一定存在,满足,
所以设,总存在满足,
所以函数是N函数. 8分
(Ⅲ)(1)当时,有,
所以函数都不是N函数. 9分
(2)当时,① 若,有,
所以函数都不是N函数. 10分
② 若,由指数函数性质易得,
所以,都有
所以函数都不是N函数. 11分
③ 若,令,则,
所以一定存在正整数使得 ,
所以,使得,
所以.
又因为当时,,所以;
当时,,所以,
所以,都有,
所以函数都不是N函数. 13分
综上所述,对于任意实数,函数都不是N函数.
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