Question

【题目】如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点.

（1）证明：EF⊥BC；

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）方法一：连接，证明BC⊥平面A1EF，从而EF⊥BC；

方法二：由条件证明A1E⊥平面ABC，以E为原点，建立如图空间直角坐标系

计算，从而EF⊥BC.

（2）方法一：取BC中点G，连结EG、GF，证明平面A1BC⊥平面EGFA，从而确定∠EOG是直线EF与平面A1BC所成角（或其补角），运用余弦定理求得cos∠EOG，最终得出答案.

方法二：建立空间直角坐标系，先求出平面A1BC的法向量，利用向量与的夹角为所求角的正弦，即可求出.

方法一：

证明：（1）连结A1E，∵A1A＝A1C，E是AC的中点，

∴A1E⊥AC，

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，

∴A1E⊥平面ABC，∴A1E⊥BC，

∵A1F∥AB，∠ABC＝90°，∴BC⊥A1F，

∴BC⊥平面A1EF，∴EF⊥BC.

解：（2）取BC中点G，连结EG、GF，则EGFA1是平行四边形，

由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，

∴平行四边形EGFA1是矩形，

由（1）得BC⊥平面EGFA1，

则平面A1BC⊥平面EGFA1，

∴EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上，

连结A1G，交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成角（或其补角），

不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，A1E＝2，EG＝，

∵O是A1G的中点，故，

∴cos∠EOG，

∴直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.

方法二：

证明：（1）连结A1E，∵A1A＝A1C，E是AC的中点，

∴A1E⊥AC，

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，

∴A1E⊥平面ABC，

如图，以E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴，

EC，EA1所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，

设AC＝4，则A1（0，0，2），B（），B1（），F（），C（0，2，0），

（），（）

由0，得EF⊥BC.

解：（2））设直线EF与平面A1BC所成角为θ，

由（1）得（），（0，2，﹣2），

设平面A1BC的法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，），

∴sinθ，

∴直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.