题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若,求函数
在
的单调区间;
(Ⅱ)方程有3个不同的实根,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)当时,若对于任意的
,都存在
,使得
,求满足条件的正整数
的取值的集合.
【答案】(Ⅰ)单调增区间为,
的单调减区间为
; (Ⅱ)当时,方程有三个不同的解
,1,
; (Ⅲ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)在时,
,求出导数
,由不等式
得增区间,由不等式
得减区间;
(Ⅱ)方程,即为
,有一根为
,然后有
或
,这可根据
的正负分类讨论确定;
(Ⅲ)当,
时,
,由导数得出函数
在
上是增函数,这样可得当
时,
,当
时,
,此时
,因此只要
,由此求出
的范围,
而这还需用导数研究相应函数的单调性,才能得出结论.
试题解析:
(Ⅰ)当,
时,
,
从而
,
,
的单调增区间为
,
的单调减区间为
(Ⅱ)方程,即
,即
所以当时,方程有两个不同的解
,
;
当时,方程有三个不同的解
,1,
;
当时,方程有两个不同的解
,1.
综上,当时,方程有三个不同的解
,1,
(Ⅲ)当,
时,
,
,
所以函数在
上是增函数,
且
.
所以当时,
,
当时,
所以,
因为对任意的,都存在
,使得
,
从而,
所以,即
,即
(
)
因为为
单调递增,
且满足,而
,不满足题意,所以
时,均不满足题意,
所以满足条件的正整数的取值的集合为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.
整理评分数据,将分数以为组距分成
组:
,
,
,
,
,
,得到A餐厅分数的频率分布直方图,和B餐厅分数的频数分布表:
B餐厅分数频数分布表 | |
分数区间 | 频数 |
定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下:
分数 | |||
满意度指数 |
(Ⅰ)在抽样的100人中,求对A餐厅评价“满意度指数”为的人数;
(Ⅱ)从该校在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率;
(Ⅲ)如果从A,B两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由.