题目内容
证明以下命题:
(1)对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列;
(2)存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.
存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列
证明:(1)易知成等差数列,故也成等差数列,
所以对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列.
(2)若成等差数列,则有,
即 …… ①
选取关于的一个多项式,例如,使得它可按两种方式分解因式,由于
因此令,可得 …… ②
易验证满足①,因此成等差数列,
当时,有且
因此为边可以构成三角形.
其次,任取正整数,假若三角形与相似,则有:
,据比例性质有:
所以,由此可得,与假设矛盾,
即任两个三角形与互不相似,
所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.
所以对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列.
(2)若成等差数列,则有,
即 …… ①
选取关于的一个多项式,例如,使得它可按两种方式分解因式,由于
因此令,可得 …… ②
易验证满足①,因此成等差数列,
当时,有且
因此为边可以构成三角形.
其次,任取正整数,假若三角形与相似,则有:
,据比例性质有:
所以,由此可得,与假设矛盾,
即任两个三角形与互不相似,
所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.
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