题目内容
18.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x(x<0)}\\{\frac{ln(x+1)}{x+1},(x≥0)}\end{array}\right.$,参数k∈[-1,1],则方程f(x)-kx-k=0有四个实数根的概率为( )A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{2e}$ | D. | $\frac{1}{4e}$ |
分析 首先画出函数图象,要使方程f(x)-kx-k=0有四个实数根,只要函数f(x)与直线y=k(x+1)由四个交点即可,利用数形结合求k的范围,然后利用几何概型公式求概率.
解答 解:函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x(x<0)}\\{\frac{ln(x+1)}{x+1},(x≥0)}\end{array}\right.$的图形如图,要使方程f(x)-kx-k=0有四个实数根,即使直线y=k(x+1)与函数f(x)图象有四个交点,
当直线y=k(x+1)与f(x)相切时,设切线斜率为k,切点为(x,y),则k=$(\frac{ln(x+1)}{x+1})′$=$\frac{1-ln(x+1)}{(x+1)^{2}}$,所以$\frac{ln(x+1)}{x+1}=\frac{1-ln(x+1)}{(x+1)^{2}}(x+1)$,
解得x=$\sqrt{e}-1$,所以k=$\frac{1}{2e}$,
所以方程f(x)-kx-k=0有四个实数根的k的范围是(0,$\frac{1}{2e}$),又k∈[-1,1],由几何概型的公式可得方程f(x)-kx-k=0有四个实数根的概率为:$\frac{\frac{1}{2e}}{2}=\frac{1}{4e}$;
故选D.
点评 本题考查了函数图象,方程根的个数;本题借助于数形结合,直线与切线的交点个数解决了方程根的问题;属于中档题.
练习册系列答案
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按照上面的规律,第10个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
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A. | 58 | B. | 78 | C. | 62 | D. | 82 |
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