题目内容

18.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x(x<0)}\\{\frac{ln(x+1)}{x+1},(x≥0)}\end{array}\right.$,参数k∈[-1,1],则方程f(x)-kx-k=0有四个实数根的概率为(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2e}$D.$\frac{1}{4e}$

分析 首先画出函数图象,要使方程f(x)-kx-k=0有四个实数根,只要函数f(x)与直线y=k(x+1)由四个交点即可,利用数形结合求k的范围,然后利用几何概型公式求概率.

解答 解:函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x(x<0)}\\{\frac{ln(x+1)}{x+1},(x≥0)}\end{array}\right.$的图形如图,要使方程f(x)-kx-k=0有四个实数根,即使直线y=k(x+1)与函数f(x)图象有四个交点,
当直线y=k(x+1)与f(x)相切时,设切线斜率为k,切点为(x,y),则k=$(\frac{ln(x+1)}{x+1})′$=$\frac{1-ln(x+1)}{(x+1)^{2}}$,所以$\frac{ln(x+1)}{x+1}=\frac{1-ln(x+1)}{(x+1)^{2}}(x+1)$,
解得x=$\sqrt{e}-1$,所以k=$\frac{1}{2e}$,
所以方程f(x)-kx-k=0有四个实数根的k的范围是(0,$\frac{1}{2e}$),又k∈[-1,1],由几何概型的公式可得方程f(x)-kx-k=0有四个实数根的概率为:$\frac{\frac{1}{2e}}{2}=\frac{1}{4e}$;
故选D.

点评 本题考查了函数图象,方程根的个数;本题借助于数形结合,直线与切线的交点个数解决了方程根的问题;属于中档题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网