题目内容
【题目】已知函数,
(
).
(1)求函数的单调区间;
(2)求证:当时,对于任意
,总有
成立.
【答案】(1)当时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
,
;当
时,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(I)首先求出函数的导数,对字母a进行分类讨论,根据
,可知
函数单调递增,
时
函数单调递减可得答案.(Ⅱ)要证当a>0时,对于任意
,总有
成立,即要证明对于任意
,总有
.根据(Ⅰ)可知,当
时,f(x)在(0,1)上单调递增,f(x)在(1,e]上单调递减,从而有
,再利用导数可得,当
时,g(x)在(0,a)上单调递增,g(x)在(a,e]上单调递减,所以
,再用作差法即可证明
.
试题解析解:(Ⅰ)函数的定义域为
,
.
当时,当
变化时,
,
的变化情况如下表:
0 | 0 | ||||
↘ | ↗ | ↘ |
当时,当
变化时,
,
的变化情况如下表:
0 | 0 | ||||
↗ | ↘ | ↗ |
综上所述,
当时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
,
;
当时,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
. 5分 (2)由(1)可知,当
时,
在
上单调递增,
;
在
上单调递减,且
. 所以
时,
.因为
,所以
,
令,得
时,由
,得
;由
,得
,
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减.所以
.
因,对任意
,总有
. 10分
②当时,
在
上恒成立,
所以函数在
上单调递增,
.
所以对于任意,仍有
.
综上所述,对于任意,总有
. 14分
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