Question

【题目】椭圆的左右焦点分别为，与轴正半轴交于点，若为等腰直角三角形，且直线被圆所截得的弦长为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线：与椭圆交于点，线段的中点为，射线与椭圆交于点，点为的重心，求证：的面积为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性质分析可得，又由直线与圆的位置关系可得的值，进而可得的值，将的值代入椭圆的方程即可得结论；（2）根据题意，分、两种情况讨论，若直线的斜率不存在，容易求出的面积，若直线的斜率存在，设直线的方程为，设，联立直线与椭圆的方程，结合一元二次方程中根与系数的关系，求出的面积消去参数，综合两种情况可得结论.

详解：（1）由为等腰直角三角形可得，直线：被圆圆所截得的弦长为2，所以，所以椭圆的方程为.

（2）若直线的斜率不存在，则.

若直线的斜率存在，设直线的方程为，设，

即，则，，，

由题意点为重心，设，则，

所以，，代入椭圆，得

，整理得，

设坐标原点到直线的距离为，则的面积

.

综上可得的面积为定值.