题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,平面
平面
,
,
,
,
分别为线段
上的点,且
,
,
.
(1)求证: 平面
;
(2)若与平面
所成的角为
,求平面
与平面
所成的锐二面角.
【答案】(1)证明见解析;(2)30°.
【解析】试题分析:
(1)由条件可得为直角三角形,且
.故由余弦定理可得
,所以
,从而
,又由条件可得
,故
平面
.(2)由
两两互相垂直可建立空间直角坐标系,结合条件可求得平面
的法向量和平面
的法向量,根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小.
试题解析:
(1)证明:连,由题意知
.
∴
在中,由余弦定理得
,
∴,
∴,
又因为,
∴
又
,
又,
,
∴平面
.
(2)由(1)知两两互相垂直,建立如图所示的空间直角坐标系
,
由与平面
所成的角为
,知
,
则
∴
因为
由(1)知
平面
,
∴平面
∴为平面
的一个法向量.
设平面的法向量为
,
则 ∴
,
令,则
,
∴为平面
的一个法向量.
∴
故平面与平面
的锐二面角的余弦值为
,
所以平面与平面
的锐二面角为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】某学校高中毕业班有男生900人,女生600人,学校为了对高三学生数学学习情况进行分析,从高三年级按照性别进行分层抽样,抽取200名学生成绩,统计数据如表所示:
分数段(分) | [50,70) | [70,90) | [90,110) | [110,130) | [130,150) | 总计 |
频数 | 20 | 40 | 70 | 50 | 20 | 200 |
(1)若成绩90分以上(含90分),则成绩为及格,请估计该校毕业班平均成绩及格学生人数;
(2)如果样本数据中,有60名女生数学成绩合格,请完成如下数学成绩与性别的列联表,并判断是否有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”.
女生 | 男生 | 总计 | |
及格人数 | 60 | ||
不及格人数 | |||
总计 |
参考公式:K2= .
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.050 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |