Question

20．已知△ABC中，∠ACB=45°，B、C为定点且BC=3，A为动点，作AD⊥BC于D（异于点B），如图1所示．连接AB，将△ABD沿AD折起，使平面ABD⊥平面ADC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：AB⊥CD；
（Ⅱ）当三棱锥A-BCD的体积取得最大值时，求线段AC的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别取BC，AC的中点E、M，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求此时EN与平面BMN所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明CD⊥平面ABD，即可证明AB⊥CD；
（Ⅱ）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A-BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角

解答 （Ⅰ）证明：∵BD⊥AD，CD⊥AD，平面ABD⊥平面ADC，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥BD，
∵CD⊥AD，AD∩BD=D，
∴CD⊥平面ABD，
∵AB?平面ABD，
∴AB⊥CD；
（Ⅱ）解：设BD=x，则CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}$×AD×S_△BCD=$\frac{1}{3}$×（3-x）×$\frac{1}{2}$×x（3-x）=$\frac{1}{6}$（x³-6x²+9x）
设f（x）=$\frac{1}{6}$（x³-6x²+9x）  x∈（0，3），
∵f′（x）=$\frac{1}{2}$（x-1）（x-3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大，此时AC=2$\sqrt{2}$；
（Ⅲ）解：以D为原点，建立如图直角坐标系D-xyz，由（Ⅱ）知，三棱锥A-BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0），
且$\overrightarrow{BM}$=（-1，1，1）
设N（0，λ，0），则$\overrightarrow{EN}$=（-$\frac{1}{2}$，λ-1，0）
∵EN⊥BM，∴$\overrightarrow{EN}$•$\overrightarrow{BM}$=0
即（-1，1，1）•（-$\frac{1}{2}$，λ-1，0）=$\frac{1}{2}$+λ-1=0，∴λ=$\frac{1}{2}$，∴N（0，$\frac{1}{2}$，0）
∴当DN=$\frac{1}{2}$时，EN⊥BM
设平面BMN的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{BM}$=（-1，1，1）及$\overrightarrow{BN}$=（-1，$\frac{1}{2}$，0）
得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{z=-x}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1）
设EN与平面BMN所成角为θ，则$\overrightarrow{EN}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{EN}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|-\frac{1}{2}-1|}{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴θ=60°
∴EN与平面BMN所成角的大小为60°．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定，折叠问题中的不变量，空间线面角的计算方法，空间向量、空间直角坐标系的运用，有一定的运算量，属中档题．